استفاده از توابع پایه ای مناسب برای حل معادلات دیفرانسیل با تاکید روی مسائل با دامنه ی بزرگ

مدل بندی بسیاری از پدیده ها و مسائل طبیعی غالباً به حل معادلات غیرخطی منجر می شود. مشکلات موجود در مسیر حل این مسائل و به دست آوردن یک جواب تحلیلی باعث می شود تا از روش های عددی استفاده کنیم. هدف از این پژوهش، بررسی و حل انواع معادلات دیفرانسیل پدید آمده در الکترودینامیک و مکانیک سیالات روی دامنه های بزرگ به دلیل کاربرد های مهندسی و صنعتی می باشد. در این رساله، ابتدا شرح مختصری از روش باقی مانده های وزنی به عنوان یک روش کلی و بسیار قدرتمند برای به دست آوردن جواب تقریبی معادلات دیفرانسیل ارائه شده است. سپس توابع کاردینال چبیشف را معرفی کرده و عملگرهای ماتریسی انتگرال، ضرب و تأخیر را برای این توابع محاسبه می کنیم. هم چنین با استفاده از این عملگرها به حل معادلات انتگرال- دیفرانسیل فردهلم- ولترا، معادلات دیفرانسیل تأخیری پدید آمده در الکترودینامیک و نوسان گر هارمونیک دافینگ می پردازیم. پس از آن، یک روش عددی بر اساس ترکیبی از روش شبه طیفی با یک پارامتر مقیاس گر مثبت و برونیابی برای حل برخی از مسائل در مکانیک سیالات معرفی شده است. این روش به حل مسائل روی دامنه های نیمه متناهی بدون برش آن به یک دامنه ی متناهی می پردازد. در ادامه یک روش عددی مبتنی بر چندجمله ای های برنشتاین و روش تاو برای حل مسأله ی جریان ایستای خارج از مرکز روی یک دیسک دوار بیان شده است. پس از آن یک روش کلی بر اساس چندجمله ای های برنشتاین و نگاشت نمایی برای تولید توابع پایه ای متعامد جدیدی روی بازه ی نیمه متناهی ارائه می شود. هم چنین، این توابع برای شبیه سازی جواب مسأله ی انتقال حرارت از یک سیال میکرو قطبی به واسطه ی یک محیط متخلخل با تابش استفاده می شوند. در پایان نیز یک بهبود جدید از روش تکرار وردشی برای حل معادله ی همرفتی - تابشی غیرخطی ناپایدار و نوسان گرهای به شدت غیرخطی درنظر گرفته شده است.